图9 康托尔对角线论证法
因此，全体实数的集合在某种意义上比所有正整数的集合大。虽说两者都是无穷的，但是不像偶数可以与自然数列表匹配那样，它们没法配对在一起。的确，假定有一张表包含了区间0～1内所有的数，我们将康托尔的对角线法应用在这个列表上，那么缺失的数a也将位于这个范围内。因此，类比于之前，我们同样可以总结出，任何想列出这个区间的全部元素的尝试都是徒劳的。我们提起这个事实，是因为很快就要用到它。
我们随意地接受任何可能的小数展开的时候，就打开了通往超越数的大门。那些数超出了能从欧氏几何和普通代数方程产生的数的范围。康托尔的证明告诉我们，超越数是存在的，并且有无穷多个。因为假如它们仅仅组成一个有限的集合，那么它们就可以被放在我们的代数数（非超越数）的表单的开头，这样就产生了一张全体实数的列表，而我们已知这是不可能的。令人惊异的是，我们发现了这些奇怪的数是存在的，却还没有指认出其中的任何一个！仅通过互相比较某些无限集合，我们就揭示了这些数的存在。在我们熟悉的代数数和所有小数展开的集合中间，有着巨大的空隙，而超越数正是填充这些空隙的数。用一个天文学的比喻来说，超越数就是数的世界中的暗物质。